\[ \newcommand{\abs}[1]{\left\lvert #1 \right\rvert} \newcommand{\norm}[1]{\left\lVert #1 \right\rVert} \newcommand{\del}[1]{\left( #1 \right)} \newcommand{\cbr}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace} \newcommand{\sbr}[1]{\left[ #1 \right]} \newcommand{\dd}[1]{\mathop{}\!\mathrm{d}#1} \newcommand{\od}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3}} \newcommand{\pd}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3}} \newcommand{\bigO}{\mathcal{O}} \newcommand{\coloneqq}{\vcentcolon=} \]
Punkter:
Randen av en mängd \(\partial M\).
Mängder:
Notera att t.ex. \(\mathbb{R}^n\) är både öppen och sluten.
Planpolära koordinater \[ \begin{cases} \begin{aligned} x &= \rho \cos \varphi \\ y &= \rho \sin \varphi \\ \end{aligned} \end{cases} \] Skissa \(z = f(\rho)\) först, rotera sedan runt \(z\)-axeln.
Planpolära koordinater: \[ (x, y) \to (0, 0) \iff \begin{cases} \rho \to 0 \\ \text{$\varphi$ varierar fritt} \\ \end{cases} \]
Uppskattning:
Förstora definitionsmängden på ett kontinuerligt vis.
\[ \begin{cases} \begin{aligned} x &= r \sin \theta \cos \varphi \\ y &= r \sin \theta \sin \varphi \\ z &= r \cos \theta \\ \end{aligned} \end{cases} \]
Minnesregel för standardvariablerna: Utgå från planpolära koordinater och inför ny variabel \(\theta\) for den nya variabeln \(z\) (som är “stora samtidigt” \(\implies \cos\)): \[ \begin{cases} \begin{aligned} x &= \phantom{r \sin \theta} \cos \varphi \\ y &= \phantom{r \sin \theta} \sin \varphi \\ z &= \phantom{r} \cos \theta \\ \end{aligned} \end{cases} \]
Minns integrerande faktor \(e^{-F(x)}\) från envariabel: \[ \begin{gather} \frac{\partial u}{\partial x} = f(x) u(x) \\ \iff \\ \underbrace{ \frac{\partial u}{\partial x} e^{-F(x)} - f(x) u(x) e^{-F(x)} }_{ \frac{\partial}{\partial x} u(x) e^{-F(x)} } = 0 \\ \iff \\ u(x) e^{-F(x)} = C \\ \iff \\ u(x) = C e^{F(x)} \\ \end{gather} \]
Flera partiella derivator givna, applicera en ekvation i taget:
Notera att en lösning inte alltid finns, vilket syns i motsägelser i likheterna. Om en lösning finns tar ofta termer ut varandra.
\[ \left\{ \begin{equation} \begin{aligned} u'_x &= f_1(x, y, z) \\ u'_y &= f_2(x, y, z) \\ u'_z &= f_3(x, y, z) \\ \end{aligned} \end{equation} \right. \]
\((1)\): \[ \begin{aligned} u'_x &= f_1(x, y, z) \iff \\ u &= \int\dd{x} f_1(x, y, z) + g(y, z) \\ \end{aligned} \]
\((2)\): \[ \begin{aligned} u'_y &= \pd{}{y} \int\dd{x} f_1(x, y, z) + g'_y(y, z) = f_2(x, y, z) \iff \\ g'_y(y, z) &= f_2(x, y, z) - \pd{}{y} \int\dd{x} f_1(x, y, z) \iff \\ g(y, z) &= \int \dd{y} f_2(x, y, z) - \int\dd{y} \pd{}{y} \int\dd{x} f_1(x, y, z) + h(z) \\ u &= \int\dd{x} f_1(x, y, z) + \int \dd{y} f_2(x, y, z) - \int\dd{y} \pd{}{y} \int\dd{x} f_1(x, y, z) + h(z) \\ \end{aligned} \]
osv för \((3)\).
\(f\) differentierbar i \((a, b)\) om
\[ \begin{gather} f(a + h, b + k) - f(a, b) = A h + B k + \sqrt{h^2 + b^2} R(h, k) \\ R(h, k) \to 0 \text{ då } (h, k) \to (0, 0) \\ \end{gather} \]
\(f \text{ differentierbar } \implies f \text{ kontinuerlig, partiellt deriverbar}\).
\(f \in C^1(D) \implies f \text{ differentierbar i } D\).
\(f \in C^2(D) \implies \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j \partial x_i}\), dvs de blandade derivatorna är lika.
Om \(f(x, y)\) differentierbar: \(\Delta f \approx \dd{f} = f'_x \dd{x} + f'_y \dd{y}\). Kan användas för feluppskattning.
\(u(t_1, t_2) = u(x(t_1, t_2))\): \[ \pd{u}{t_i} = \od{u}{x} \pd{x}{t_i} \] (som envariabel)
\(u(t) = u(x_1(t), x_2(t))\): \[ \od{u}{t} = \pd{u}{x_1} \od{x_1}{t} + \pd{u}{x_2} \od{x_2}{t} = \nabla u \cdot \od{\vec{x}}{t} \] (nytt)
\(u(t_1, ..., t_n) = u(x_1(t_1, ..., t_n), ..., x_m(t_1, ..., t_n))\): \[ \pd{u}{t_i} = \nabla u \cdot \od{\vec{x}}{t_i} \] (omedelbar generalisering av förra)
Kedjeregeln: om \(u(t) = f(\vec{g}(t))\) så \[ u'(t) = \nabla f(\vec{g}(t)) \cdot \vec{g}'(t) \]
Minnesregel: Som envariabel men byt derivata mot gradient och multiplikation mot skalärprodukt.
Man kan använda detta för att byta variabler i partiella differentialekvationer där en ekvation innehåller flera derivator med avseende på olika variabler och erhålla en differentialekvation där endast derivator med avseende på en variabel ingår. Notera att funktions-“konstanten” tar en funktion av de ursprungliga variablerna som argument i lösningen.
Kurva i \(\mathbb{R}^n\): \[ t \mapsto \vec{x} = (x_1(t), \ldots, x_n(t)) \]
Tangentvektor till kurvan: \[ \vec{x}'(t) = \od{\vec{x}}{t} = (x_1'(t), \ldots, x_n'(t)) \]
Gradienten av \(f\): \[ \text{grad} f = \nabla f = (\pd{f}{x_1}, \ldots, \pd{f}{x_n}) = \sum_{i=1}^n \pd{f}{x_i} \vec{e}_i \]
Om kurvan \(t \mapsto \vec{x}(t)\) är (en del av) en nivåyta till \(f(\vec{x})\) så att \(f(t) = f(\vec{x}(t)) = \text{ konstant}\) är \[ \od{f}{t} = \nabla f \cdot \od{\vec{x}}{t} = 0 \] alltså \[ \nabla f \perp \text{ nivåytorna till f} \]
Riktningsderivatan (\(|\vec{v}| = 1\)): \[ f_\vec{v}'(\vec{a}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\vec{a} + h \vec{v}) - f(\vec{a})}{h} \]
Om \(f \in C^1\) är \[ f_\vec{v}' = \nabla f \cdot \vec{v} = |\nabla f| \underbrace{|\vec{v}|}_1 \cos \alpha = |\nabla f| \cos \alpha \]
som är maximalt \(|+\nabla f|\) och minimalt \(|-\nabla f|\).
Geometriska problem kan lösas med dessa verktyg.
Lokala extrempunkter (behöver ej vara deriverbar) (inkluderar ej sadelpunkter, jämför stationär punkt nedan).
Om \(\vec{a}\) är en inre extrempunkt för \(f\) och \(\nabla f(\vec{a})\) existerar så är \[ \nabla f(\vec{a}) = \vec{0} \]
Stationär punkt: \(\nabla f(\vec{a}) = \vec{0}\).
\[ f(\vec{a} + \vec{h}) = f(\vec{a}) + \nabla f(\vec{a}) \vec{h} + \frac{1}{2} \vec{h}^t H(\vec{a}) \vec{h} + \bigO(|\vec{h}|^3) \]
Hessianen, matrisen med alla andraderivator: \(H(\vec{a})\). Symmetrisk om \(f \in C^2\). Låt \(\lambda_i\) vara (reella ty symmetrisk) egenvärden till \(H\).
\(Q(\vec{h}) = \vec{h}^t H \vec{h}\) (kvadratisk form i \(\vec{h}\)): \[ \lambda_\text{min} |\vec{h}|^2 \le Q(\vec{h}) \le \lambda_\text{max} |\vec{h}|^2 \]
\[ \begin{align} Q \text{ {positivt, negativt} definit } &\implies \text{ alla } \{\lambda_i > 0, \lambda_i < 0\} \\ Q \text{ indefinit } &\implies \text{ något } \lambda_i < 0, \text{ något } \lambda_i > 0 \\ Q \text{ {positivt, negativt} semidefinit } &\implies \text{ alla } \{\lambda_i \ge 0, \lambda_i \le 0\}, \text{ något } \lambda_i = 0 \\ \end{align} \]
Om \(\vec{a}\) stationär för \(f\) (alltså \(\nabla f(\vec{a}) = 0\)):
\[ \begin{align} Q \text{ {positivt, negativt} definit } &\implies \vec{a} \text{ lokal {min, max}-punkt} \\ Q \text{ indefinit } &\implies \vec{a} \text{ ej lokal extrempunkt} \\ Q \text{ semidefinit } &\implies \text{ Vidare undersökning krävs} \\ \end{align} \]
Praktiskt:
Implicita funtionssatsen (IFS): Antag att \(F(x, y) \in C^1\) och \(F(a, b) = c\). Om \[ F'_y(a, b) \ne 0 \] så definierar \(F(x, y) = c\) i någon omgivning till \((a, b)\) en \(C^1\)-funktion \(y(x)\).
Implicit derivering.
Implicita funtionssatsen (IFS) gäller också analogt i dimensioner \(n > 2\) (speciellt \(n = 3\)).
Implicita funtionssatsen (IFS) för skärning mellan två nivåytor: Antag att \(F(x, y, z), G(x, y, z) \in C^1\) och \(F(a, b, c) = d_1, G(a, b, c) = d_2\). Om \[ \det \begin{pmatrix} F'_x & F'_y \\ G'_x & G'_y \\ \end{pmatrix} \ne 0 \] så definierar \(F(a, b, c) = d_1, G(a, b, c) = d_2\) i någon omgivning till \((a, b, c)\) två \(C^1\)-funktioner \(x(z), y(z)\).
Minnesregel: Derivera med avseende på den/de variabler som ska lösas ut.
Om \(f: K \mapsto \mathbb{R}\), där \(K \subseteq \mathbb{R}^n\) är kompakt och \(f\) är kontinuerlig på \(K\), så antar \(f\) ett största och ett minsta värde på \(K\).
Alla kandidater hittas i:
Max och/eller min behöver inte finnas.
Två lösningsstrategier:
Om inre punkt \((a, b)\) är en (lokal) extrempunkt för \(f(x, y)\) under bivillkoret \(g(x, y) = c\) så gäller:
\[ \begin{cases} \nabla f \parallel \nabla g \\ g(a, b) = c \\ \end{cases} \]
Mer generellt: Om inre punkt \(\vec{a}\) är en (lokal) extrempunkt för \(f\) under bivillkoren \(g_1 = c_1, \ldots, g_p = c_p\) så gäller:
\[ \begin{cases} \{\nabla f, \nabla g_1, \ldots, \nabla g_p\} \text{ linjärt beroende} \\ g_1 = c_1, \ldots, g_p = c_p \\ \end{cases} \]
Notera att gradienterna alltid är linjärt beroende om \(p \ge n\).
Notera att det ofta bara är ett bivillkor aktivt (likhet gäller) i taget och det är endast de aktiva bivillkoren som ska vara linjärt beroende med \(\nabla f\).
För att testa linjärt beroende med två bivillkor: \[ \begin{vmatrix} f'_x & f'_y & f'_z \\ g'_{1,x} & g'_{1,y} & g'_{1,z} \\ g'_{2,x} & g'_{2,y} & g'_{2,z} \\ \end{vmatrix} = 0 \]
Definition med trappfunktioner (undersumma och översumma).
Kontinuerlig \(\implies\) integrerbar, lika med två enkelintegraler med ombytbar ordning (notera dock att ordning kan ha betydelse för hur svåra beräkningarna blir!).
Upprepad integration: \[ \begin{gather} D = \{ (x, y) : a \le x \le b, \alpha(x) \le y \le \beta(x) \} \\ \iint_D f(x, y) \dd{x} \dd{y} = \int_a^b \left( \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x, y) \dd{y} \right) \dd{x} \end{gather} \]
Avbildning \(\vec{u} = \vec{f}(\vec{x})\).
Linjära fallet \(\vec{f}(\vec{x}) = A \vec{x}\):
Inverterbarhet: Om \(\det A \neq 0\) \[ \vec{x} = A^{-1} \vec{u} \]
Areaskala: \[ \frac {\text{area}(E)} {\text{area}(D)} = |\det A| \]
(om orientering bibehålls beror på tecknet på \(\det A\))
Allmänna \(C^1\)-fallet: Approximera med linjära fallet.
Lokal inverterbarhet: Inversa funktionssatsen.
Om \(\det A \neq 0\): \[ \begin{cases} \begin{aligned} u &= u(x, y) \\ v &= v(x, y) \\ \end{aligned} \end{cases} \] lokalt inverterbar och definierar \(C^1\)-funktioner \[ \begin{cases} \begin{aligned} x &= x(u, v) \\ y &= y(u, v) \\ \end{aligned} \end{cases} \]
Lokal areaskala:
Funktionalmatris (även total derivata): \[ \frac {\partial(u, v)} {\partial(x, y)} = \begin{pmatrix} u'_x & u'_y \\ v'_x & v'_y \\ \end{pmatrix} \]
Funktionaldeterminant: \[ \frac {\dd(u, v)} {\dd(x, y)} = \det \begin{pmatrix} u'_x & u'_y \\ v'_x & v'_y \\ \end{pmatrix} \]
När \(u(x, y), v(x, y)\) har (lokal) \(C^1\)-invers \(x(u, v), y(u, v)\) gäller \[ \begin{aligned} \frac {\partial(x, y)} {\partial(u, v)} = \left( \frac {\partial(u, v)} {\partial(x, y)} \right)^{-1} \\ \frac {\dd(x, y)} {\dd(u, v)} = \left( \frac {\dd(u, v)} {\dd(x, y)} \right)^{-1} \end{aligned} \]
Helt analogt med det linjära fallet gäller \[ \frac {\text{area}(E)} {\text{area}(D)} = \left| \det \begin{pmatrix} u'_x & u'_y \\ v'_x & v'_y \\ \end{pmatrix} \right| = \left| \frac {\dd(u, v)} {\dd(x, y)} \right| \]
\[ \iint_D f(x, y) \dd{x} \dd{y} = \iint_E f(x(u, v), y(u, v)) \abs{\od{(x, y)}{(u, v)}} \dd{u} \dd{v} \]
Notera beloppet av funktionaldeterminanten.
Viktiga byten:
Linjära.
Funktionaldeterminanten konstant.
T.ex. Området \(D\) begränsas av linjerna:
\[ \begin{cases} \begin{aligned} f_1(x, y) &= c_1 \\ f_2(x, y) &= c_2 \\ f_3(x, y) &= c_3 \\ \end{aligned} \end{cases} \]
Välj \(u, v\) som två av dessa linjer. Välj med fördel så att ett utbytt \(f_i\) ingår på ett krångligt sätt i integranden.
\[ \begin{cases} \begin{aligned} u &= c_1 \\ v &= c_2 \\ f_3(x(u, v), y(u, v)) &= c_3 \\ \end{aligned} \end{cases} \]
\[ \abs{\od{(x, y)}{(u, v)}} \int_{c_1}^{\dots} \del{\int_{c_2}^{\dots} \ldots \dd{v}} \dd{u} \]
Polära
Inled med linjärt byte från ellips till cirkel om nödvändigt.
Kan vara värt att komma ihåg standard vid planpolärt byte \(\dd{u} \dd{v} = \rho \dd{\rho} \dd{\varphi}\).
Definition via trappfunktion.
Exempel på tolkningar:
Två sätt att beräkna \(\iiint\):
\(\int(\iint)\): Projektion på koordinataxel och skivor \[ \begin{gather} D = \{ (x, y, z) : a \le z \le b, (x, y) \in D_z \} \\ \iiint_D f(x, y, z) \dd{x} \dd{y} \dd{z} = \int_a^b \del{\iint_{D_z} f(x, y, z) \dd{x} \dd{y}} \dd{z} \\ [a, b] = \text{ projektionen av D på $z$-axeln} \end{gather} \]
\(\iint(\int)\): Projektion på koordinatplan och stavar \[ \begin{gather} D = \{ (x, y, z) : (x, y) \in \tilde{D}, \alpha(x, y) \le z \le \beta(x, y) \} \\ \iiint_D f(x, y, z) \dd{x} \dd{y} \dd{z} = \iint_{\tilde{D}} \del{\int_{\alpha(x, y)}^{\beta(x, y)} f(x, y, z) \dd{z}} \dd{x} \dd{y} \\ \tilde{D} = \text{ projektionen av $D$ på $xy$-planet} \end{gather} \]
Variabelbyte fungerar som för dubbelintegraler men med volymskala.
Viktiga variabelbyten:
Linjära
Planpolärt byte kan komma att vara behjälpligt i beräkningarna.
Rymdpolära
\[ \od{(x, y, z)}{(r, \theta, \varphi)}A = r^2 \sin(\theta) \ge 0 \]
så (standard)
\[ \dd{x} \dd{y} \dd{z} = r^2 \sin(\theta) \dd{r} \dd{\theta} \dd{\varphi} \]
(Möjlig) minnesregel: \[ \begin{aligned} \text{volym}(\text{halvklot}) &= \iiint_D \dd{x} \dd{y} \dd{z} \\ &= \iiint_E r^2 \sin(\theta) \dd{r} \dd{\theta} \dd{\varphi} \\ &= \int_0^R \del{\int_0^{\pi/2} \del{\int_0^{2 \pi} r^2 \sin(\theta) \dd{\varphi}} \dd{\theta}} \dd{r} \\ &= \int_0^R r^2 \dd{r} \int_0^{\pi/2} \sin(\theta) \dd{\theta} \int_0^{2 \pi} \dd{\varphi} \\ &= \frac{R^3}{3} \cdot (1 - 0) \cdot 2 \pi \\ &= \frac{2 \pi R^3}{3} \\ \end{aligned} \]
\[ x_T = \frac{\iiint_D x \dd{x} \dd{y} \dd{z}}{\text{volym}(D)} \]
(motsvarandef för \(y_T, z_T\))
Uttömmande följd \(D_1, D_2, \ldots\)
\[ \iint_D f(x, y) \dd{x} \dd{y} = \lim_{n \to \infty}\iint_{D_n} f(x, y) \dd{x} \dd{y} \]
Normalt använder man inte uttömmande följder vid beräkningar. Man kan visa att om \(f \ge 0\) så får man “räkna som vanligt” med:
Vi visar att \[ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} \dd{t} = \sqrt{\pi} \] genom att titta på \[ \iint_\mathbb{R} e^{- x^2 - y^2} \dd{x} \dd{y} = \pi \]
Jämförelsekriteriet: Om \(0 \le f \le g\) på \(D\), så gäller \[ 0 \le \iint_D f(x, y) \dd{x} \dd{y} \le \iint_D g(x, y) \dd{x} \dd{y} \] och speciellt att
(I denna kurs räknas integralerna oftast “rakt på”, utan jämförelser)
Vi definierar generaliserade integraler för integrander som växlar tecken med hjälp av \[ \begin{aligned} f^+ &= \max(0, +f) = \frac{1}{2} (\abs{f} + f) \\ f^- &= \max(0, -f) = \frac{1}{2} (\abs{f} - f) \\ \end{aligned} \]
Av definitionen följer att man undersöker \(\iint_D f \dd{x} \dd{y}\) i två steg: