Denna kurs behandlar främst 2- och 3-dimensionella vektorrum. Vi använder kolonnvektorer.
Skalär \(a\), skalärfält \(A\), vektorfält \(\vec{A}\).
Vektorfält \(C^n\) om alla komponenter är \(C^n\).
(Partiell) derivering med avseende på en variabel beter sig som en skalär:
\[ \vec{A}'_x = \frac{\partial}{\partial x} \vec{A} = \frac{\partial}{\partial x} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} A_1 \\ \frac{\partial}{\partial x} A_2 \\ \frac{\partial}{\partial x} A_3 \\ \end{pmatrix} \]
Om vektorn är en funktion av endast en variabel (se kurvor nedan) kan subskriptet utelämnas: \(\vec{A}'\).
\(\nabla\)-operatorn: \(\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \hat{x} + \frac{\partial}{\partial y} \hat{y} + \frac{\partial}{\partial z} \hat{z}\)
Potentialfält \(\vec{A}\): Vektorfält som är gradienten av ett skalärfält \(A\): \(\nabla \times \vec{A} = \nabla \times (\nabla A) = \vec{0}\).
En kurva är en (orts)vektor parametriserad av en variabel: \(\vec{r}(t)\).
Tangentialvektor till kurva \(\vec{r}'(t_0)\).
En yta är en (orts)vektor parametriserad av två variabler: \(\vec{r}(s, t)\).
Tangentialplan till yta i \((s_0, t_0)\) har normal med riktning \(\vec{r}'_s(s_0, t_0) \times \vec{r}'_t(s_0, t_0)\). (Som bekant från flervariabelanalys kan man även använda gradienten för att hitta normal).
Area av ett ytstycke \(S\) som parametriseras av \((s, t) \in D\):
\[ A(S) = \iint_S dS = \iint_D |\vec{r}'_s \times \vec{r}'_t| ds dt \]
Kurvintegral av (styckvis kontinuerlig) \(\vec{A}\) över (styckvis kontinuerlig) \(L\), som parametriseras av ortsvektorn \(\vec{r}(t),~ t: a \to b)\):
\[ \int_L \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{A}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}'(t) dt \]
\(-L\) är \(L\) genomlöpt i motsatt riktning. \(\int_L \vec{A} \cdot d\vec{r} = -\int_{-L} \vec{A} \cdot d\vec{r}\).
Kan generaliseras till Stokes’ sats (se nedan), med potentiellt klarare intuition.
Antag att
Dä gäller
\[ \int_C \vec{A} \cdot d\vec{r} = / \vec{r} = x \hat{x} + y \hat{y},~ d\vec{r} = dx \hat{x} + dy \hat{y} / = \int_C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right) dx dy \]
Kan underlätta vid vissa linjeintegraler:
Använd de koordinater som bäst parametriserar ytan.
Flödesintegral (skalär):
\[ \iint_S \vec{A} \cdot d\vec{S} = \iint_S (\vec{A} \cdot \hat{n}) dS = \iint_D (\vec{A}(\vec{r}(s, t)) \cdot \hat{n}) |\vec{r}_s \times \vec{r}_t| ds dt \]
Andra integraler:
\[ \iint_S A dS = \iint_D A(\vec{r}(s, t)) |\vec{r}_s \times \vec{r}_t| ds dt \]
Notera att cryssprodukten inte är kommutativ, ordningen påverkar ytans orientering:
\[ \vec{r} = R \sin{\theta} \cos{\varphi} \hat{x} + R \sin{\theta} \sin{\varphi} \hat{y} + R \cos{\theta} \hat{z} \]
\[ \vec{r}_\theta \times \vec{r}_\varphi = R^2 \sin(\theta) \hat{r} \]
\[ \hat{r} = \sin{\theta} \cos{\varphi} \hat{x} + \sin{\theta} \sin{\varphi} \hat{y} + \cos{\theta} \hat{z} \]
Vid integrering över cylinder av sfäriskt symmetriska fält (\(|\vec{A}|\sim1/(x^2+y^2+z^2)\)), använd trigonometriska ettan (\(x^2+y^2=1\)) samt \(\tan\)-variabelbyte (\(\int 1/(1+z^2)=\arctan z\)): \(z=\tan\theta,-\pi/2\lt\theta\lt+\pi/2\iff\theta=\arctan z\).
Låt \(V\) vara en volym i \(\mathbb{R}^3\) som begränsas av en sluten yta \(S\) och \(\vec{A}\) vara ett vektorfält som är \(C^1\) i en omgivning till \(V\). Då gäller:
\[ \iint_S (\vec{A} \cdot \hat{n}) dS = \iiint_V (\nabla \cdot \vec{A}) dV \]
där \(\hat{n}\) pekar ut från \(V\).
\[ \int_\Gamma \vec{A} \cdot d\vec{r} = \iint_S (\nabla \times \vec{A}) \cdot \hat{n} dS \]
Lemma: Om \(\Gamma = \Gamm_1 + {\Gamma}_2\) och \(\nabla \times \vec{A} = 0\) är
\[ \int_{\Gamma}_1 \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_{-{\Gamma}_2} \vec{A} \cdot d\vec{r} \]
Även \(\nabla \times \vec{A} = C\) gör saker lättare.
\(\Phi\) en potential till potentialfältet \(\vec{A}\) om \(\vec{A} = \nabla \Phi\).
Notera att även punkterade klot i \(\mathcal{R}^3\) är enkelt sammanhängande: det räcker inte med en kurva för att upptäcka hålet, det krävs en yta.
Det gäller för potentialfält:
TODO: Hitta potentialer m.h.a. lösa differentialekvationer från flervariabelanalys.
Skalfaktorer: \(h_i = |\vec{r}_i'\)
T.ex. för sfäriska koordinater: \(h_r = 1, h_\theta = r, h_\varphi = r \sin{\theta}\).
Gradienten:
\[ \nabla \Phi = \frac{1}{h_u} \partial{\Phi}{u} \hat{u}+ \frac{1}{h_v} \partial{\Phi}{v} \hat{v}+ \frac{1}{h_w} \partial{\Phi}{w} \hat{w} \]
Divergensen:
\[ \nabla \cdot \vec{A} = \frac{1}{h_u h_v h_w} ( \partial{}{u} (A_u h_v h_w) + \partial{}{v} (A_v h_w h_u) + \partial{}{w} (A_w h_u h_v) ) \]
Rotationen:
\[ \nabla \times \vec{A} = \frac{1}{h_u h_v h_w} \begin{vmatrix} h_u \hat{u} & h_v \hat{v} & h_w \hat{w} \\ \delta_u & \delta_v & \delta_w \\ h_u A_u & h_v A_v & h_w A_w \end{vmatrix} \]